확률

확률

확률 모형 (확률 실험) provability model

• 시행을 반복할 때 마다 나오는 결과가 우연에 의존하여 매번 달라지는 실험

표본공간 $S$

• 확률 실험에서 모든 관찰 가능한 결과의 집합

사건 $A,B ,…$

• 표본공간의 임의의 부분집합

확률 $P$

• 고전적 접근
  • 조건 : 각 실험결과가 일어날 가능성이 같은 경우

\[P(A)=\frac{m}{n}\]

• 상대적 비율에 의한 접근
  • $n$번의 반복된 실험 중 어떤 사건A가 발생한 횟수를 $m$이라고 하자
  • 사건 $A$의 상대빈도는 $\frac{m}{n}$이다
  • $n$이 무한이 증가했을 때 $A$가 상대빈도의 수렴하는 값을 확률로 정의한다

• 공리

  • 상호배반 사건 = 동시에 발생하지 않는 사건 = 합사건
  • 표본공간을 정의역으로 한다
  • 아래 세 가지 공리를 만족하는 함수를 확률로 정의한다
• $$
  1. 임의의 \ 사건 \ A에 \ 대하여 \ P(A) \geq 0 \
  2. P(S)=1
     3.표본공간 \ S에 \ 정의된 \ 서로 \ 상호배반인 \ 사건 \ A_1,A_2,… \ 에
     대하여 \ P(A_1\cup A_2,…)=P(A_1)+P(A_2)+…가 \ 성립 $$

• ​ 확률의 성

  • 여사건

  • 곱사건 $P[A \cap B]$

  • 합사건 $P[A \cup B] = P[A]+P[B]-P[A \cap B] $

  • 조건부 확률 $ P(A

    B)= \frac{P(A \cap B)}{P(B)} $

    • $A$와 $B$가 표본공간 S상에 정의되어 있으며 P(B) > 0라고 가정하자
    • 사건 $B$ 가 일어났다는 가정 하에 사건 $A$가 일어날 조건부 확률

  • 독립 사건

    • \[독립 \ 사건\ \begin{cases} P(A|B)=P \\ P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \\ P(B|A)=P(B) \end{cases}\]
    • 위 중 하나만 만족하면 독립이다